Математика

0.00 руб.

Количество

Задание 1.

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А(1,-1,0), В(2,3,1), С(-1,1,1), D(4,-3,5). Найдите:

а) длину ребра АВ;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра АВ;

г) уравнение грани АВС;

= 0

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС;

Где

е) координаты векторов и докажите, что они образуют линейную независимую систему;

док – во от противного: пусть данные вектора линейно зависимы.

Тогда , причем хотя бы одно из найдем методом Гаусса.

решив данную систему, получаем , следовательно, вектора линейно зависимые.

ж) координаты вектора , где М и N – середины ребер АD и ВС соответственно;

M (2,5; -2; 2,5) N(0,5; 2; 1), тогда

з) разложение вектора по базису

тогда

Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

-2

= 62

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

-2

-1

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2

-14

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2

-14

6.2

-2.6

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2

-0.74

-0

6.13

6.2

-2.6

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-0

0.48

-0

6.13

6.2

-2.6

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

-0

0.48

-0

0.61

-0.42

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.

x 1 = 0.48

x 2 = 0.61

x 3 = -0.42

тогда

2. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

Подробное решение.
Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Xi = Δi / Δ, где Δi - это определитель составленный из коэффициентов при X1 - n, только значения коэффициентов в i - ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а Δ - это главный определитель

Условие

2x 1	+ x 2	- x 3	= 2
3x 1	+ x 2	- 2x 3	= 3
x 1		+ x 3	= 3

Решение

Главный определитель

Δ =

-1

-2

= -2

1 - ый определитель , для вычисления X1.

Δ1 =

-1

-2

= -4

2 - ый определитель , для вычисления X2.

Δ2 =

-1

-2

= 2

3 - ый определитель , для вычисления X3.

Δ3 =

= -2

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения:

x1 = Δ1/Δ ≈ 2

x2 = Δ2/Δ ≈ -1

x3 = Δ3/Δ ≈ 1

б) с помощью обратной матрицы

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если определитель не равен нулю, то будем решать дальше методом обратной матрицы.
Записанную Вами систему можно представить в виде произведения матриц:
A × X = B, где X - матрица, содержащая искомые Вами решения системы уравнений.
Найдем матрицу, обратную матрице A, как известно - А-1 × A = E, где Е - единичная матрица (квадратная матрица с единицами на главной диагонали), эквивалент '1' в матричном исчислении.

Домножим обе части уравнения слева на А-1.

А-1 × A × X = А-1 × B.

Е × X = А-1 × B.

X = А-1 × B.

Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

-1

-2

= -2

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Согласно описанному выше методу необходимо найти матрицу, обратную матрице, составленной из коэффициентов при элементах X1 - n. Для этого достроим главный определитель единичной квадратной матрицей того же порядка справа и последовательно, при помощи элементарных преобразований перенесем единичную квадратную матрицу справа налево. Квадратная матрица, получившаяся при этом справа и будет обратной к главной. Затем домножим обратную матрицу на матрицу В (значения находящие за знаком равенства) и получим матрицу решений.

Достраиваем единичную матрицу справа.

-1

-2

Найдем обратную матрицу.

-1

-0.5

-1.5

-0.5

1.5

-0.5

-1

-0.5

-1.5

-1

1.5

-0.5

0.5

-0.5

-1.25

0.75

0.25

-1

-0.5

-1.25

0.75

0.25

-1

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к главной.

-0.5

0.5

2.5

-1.5

-0.5

0.5

-0.5

0.5

Умножение обратной матрицы (матрицы - А-1) на матрицу значений за знаком равенства (матрицу - В).

-0.5

0.5

2.5

-1.5

-0.5

0.5

-0.5

0.5

-1

Ответ

x 1 = 2

x 2 = -1

x 3 = 1

3. Задание: найдите AB, BA, AC, , :

; ; ; , где « ? » – порядковый номер по журналу

Умножим две данные матрицы:

-1

-2

-1

решение.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В.

Есть 2 матрицы: А (3 × 3) и В (3 × 3).

Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (3 × 3).
Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (3 × 3).

С 11 = (30) × (4) + (2) × (0) + (1) × (3) = 123
С 12 = (30) × (0) + (2) × (-2) + (1) × (-1) = -5
С 13 = (30) × (5) + (2) × (1) + (1) × (8) = 160
С 21 = (4) × (4) + (0) × (0) + (2) × (3) = 22
С 22 = (4) × (0) + (0) × (-2) + (2) × (-1) = -2
С 23 = (4) × (5) + (0) × (1) + (2) × (8) = 36
С 31 = (3) × (4) + (4) × (0) + (-1) × (3) = 9
С 32 = (3) × (0) + (4) × (-2) + (-1) × (-1) = -7
С 33 = (3) × (5) + (4) × (1) + (-1) × (8) = 11

Т. к.
С 11 = (А 11) × (В 11) + (А 12) × (В 21) + (А 13) × (В 31) = С 11
С 12 = (А 11) × (В 12) + (А 12) × (В 22) + (А 13) × (В 32) = С 12
С 13 = (А 11) × (В 13) + (А 12) × (В 23) + (А 13) × (В 33) = С 13
С 21 = (А 21) × (В 11) + (А 22) × (В 21) + (А 23) × (В 31) = С 21
С 22 = (А 21) × (В 12) + (А 22) × (В 22) + (А 23) × (В 32) = С 22
С 23 = (А 21) × (В 13) + (А 22) × (В 23) + (А 23) × (В 33) = С 23
С 31 = (А 31) × (В 11) + (А 32) × (В 21) + (А 33) × (В 31) = С 31
С 32 = (А 31) × (В 12) + (А 32) × (В 22) + (А 33) × (В 32) = С 32
С 33 = (А 31) × (В 13) + (А 32) × (В 23) + (А 33) × (В 33) = С 33

-1

-2

-1

123

-5

160

-2

-7

Умножим две данные матрицы:

-2

-1

Решение.

Есть 2 матрицы: А (3 × 3) и В (3 × 3).
Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (3 × 3).
Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (3 × 3).

С 11 = (4) × (30) + (0) × (4) + (5) × (3) = 135
С 12 = (4) × (2) + (0) × (0) + (5) × (4) = 28
С 13 = (4) × (1) + (0) × (2) + (5) × (-1) = -1
С 21 = (0) × (30) + (-2) × (4) + (1) × (3) = -5
С 22 = (0) × (2) + (-2) × (0) + (1) × (4) = 4
С 23 = (0) × (1) + (-2) × (2) + (1) × (-1) = -5
С 31 = (3) × (30) + (-1) × (4) + (8) × (3) = 110
С 32 = (3) × (2) + (-1) × (0) + (8) × (4) = 38
С 33 = (3) × (1) + (-1) × (2) + (8) × (-1) = -7

Т. к.
С 11 = (А 11) × (В 11) + (А 12) × (В 21) + (А 13) × (В 31) = С 11
С 12 = (А 11) × (В 12) + (А 12) × (В 22) + (А 13) × (В 32) = С 12
С 13 = (А 11) × (В 13) + (А 12) × (В 23) + (А 13) × (В 33) = С 13
С 21 = (А 21) × (В 11) + (А 22) × (В 21) + (А 23) × (В 31) = С 21
С 22 = (А 21) × (В 12) + (А 22) × (В 22) + (А 23) × (В 32) = С 22
С 23 = (А 21) × (В 13) + (А 22) × (В 23) + (А 23) × (В 33) = С 23
С 31 = (А 31) × (В 11) + (А 32) × (В 21) + (А 33) × (В 31) = С 31
С 32 = (А 31) × (В 12) + (А 32) × (В 22) + (А 33) × (В 32) = С 32
С 33 = (А 31) × (В 13) + (А 32) × (В 23) + (А 33) × (В 33) = С 33

Ответ.

-2

-1

135

-1

-5

110

-7

Умножим две данные матрицы:

-1

Решение.

Есть 2 матрицы: А (3 × 3) и В (3 × 1).

Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (3 × 1).

Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (3 × 1).

С 11 = (30) × (5) + (2) × (7) + (1) × (2) = 166
С 21 = (4) × (5) + (0) × (7) + (2) × (2) = 24
С 31 = (3) × (5) + (4) × (7) + (-1) × (2) = 41

Т. к.
С 11 = (А 11) × (В 11) + (А 12) × (В 21) + (А 13) × (В 31) = С 11
С 21 = (А 21) × (В 11) + (А 22) × (В 21) + (А 23) × (В 31) = С 21
С 31 = (А 31) × (В 11) + (А 32) × (В 21) + (А 33) × (В 31) = С 31

Ответ.

-1

166

Начало формы

Исходная матрица

Транспонированная матрица

-1

*3 =>

-3

4.Предприятие производит пять видов изделий, ежедневная норма производства которых ?, 23, 65, 12, 34 штук. Себестоимость единицы продукции равна 3; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ден.ед. соответственно. Составить вектор объема производства и себестоимости, определить нормы выпуска изделий за месяц, если в месяце было 22 рабочих дня, определить общие затраты в месяц на производство продукции.

Найдем вектор-план выпуска продукции: a(1,4) = (30,23,65,12,34)

Вектор себестоимости: q(4,1) =

Тогда: a(1,4) q(4,1) =

660

660*22 = 14520 ден.ед.

5. Вычислить определитель:

Найдем определитель данной матрицы:

-1

-9

-1

-6

-9

-1

-6

-9

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-1

-6

-9

-12

Ответ.

Перемножим числа на главной диагонали: A = (2) * (3) * (3) * (-12) = -216
В итоге, после всех преобразований, мы получаем равенство.

-1

-9

-1

-6

-9

-12

= -216

6. Найти ранг матрицы

Начало формы

-1

↓

-1

0.75

1.5

-5

-5.33

Конец формы

Так как количество нулевых строк равно 1, а общее количество строк равно 4, то ранг матрицы равен:
rang|A|=4-1=3

7. Исследовать на совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

Начало формы

ранг матрицы равен rang|A|=2

Начало формы

-8

Начало формы

ранг расширенной матрицы равен: rang|A|=2

Конец формы

ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, но меньше числа неизвестных, следовательно, система совместна и имеет бесконечное количество решений.

Начало формы

-8

5/3

4/3

-1/3

-3

7/3

4/3

-28/3

Начало формы

-13

-7

-0

Ответ: X1 = 13-3c1+13c2

X2 = c1

X3 = -7-9c2

X4 = c2

8. Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого

f (1) = 0 , f (−1) = −10, f (2) =14, f (−2) = −30.

Решим систему уравнений:

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

-1

-2

-8

= 72

-1

-10

-2

-8

-30

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (4 × 4) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

-2

-10

-3

-9

-30

-2

-10

-6

-15

-2

-10

-12

-24

Вычтем 4 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2

-6

-3

-12

-24

-1

-2

-6

-3

-12

-24

-4

-2

-6

-3

-12

-24

-4

-1

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.

a 0 = -4

a 1 = 3

a 2 = -1

a 3 = 2

искомый многочлен имеет вид:

ЛЕСНАЯ

Математика

содержание