Задача 1

 

Вычислить основные числовые характеристики вариационного ряда, по данным, приведенным в табл.1.

Таблица 1

Производительность,	46	49	52	55	58	Итого
Частота,	8	11	17	13	11	60

 

Решение

 

1.Вычисления промежуточных величин производим в табличной форме (табл.2).

Таблица 2

№№
1	46	8	2116	368	16928
2	49	11	2401	539	26411
3	52	17	2704	884	45968
4	55	13	3025	715	39325
5	58	11	3364	638	37004
Итого		-
60	-	3144	165636
Средняя взвешенная
52,4	2760,6

 

2. Определяем среднюю арифметическую производительности труда

 

 = 52,4

 

3. Вычисляем дисперсию той же величины

 

σ2 =  = 2760,6 – 2745,76 = 14,84

 

4. Вычисляем среднее квадратическое отклонение

 

σ =  = 3,85

 

5. Находим  коэффициент вариации

 

v =

 

6. Результаты вычислений иллюстрируют графически (рис.1)

                                       σ                          σ

                                                

18       Полигон                       3

16                                                               

14                                                                4

12                                 2                             5

10

8                            1

0                                                                  = 52,4

40                                    50                                      60                   70     х

 

Рис.1. Полигон вариационного ряда

 

Задача 2

Вычислить групповые и общие средние по следующим данным

Таблица 3

Зарплата, тыс. руб.,	Число рабочих в цехах (частота),	Всего,
№ 1	№ 2	№ 3
30	5	5	4	14
60	10	18	11	39
90	16	20	20	56
120	16	16	24	46

 

Решение

1.Вычисления промежуточных величин производим в табличной форме (табл. 4).

Таблица 4

Зарплата, тыс. руб.,	Число рабочих по цехам,	Всего по заводу,	Фонд зарплаты по цехам,	Всего по заводу,
№ 1	№ 2	№ 3	№ 1	№ 2	№ 3
30	5	5	4	14	150	150	120	420
60	10	18	11	39	600	1080	660	2340
90	16	20	20	56	1440	1800	1800	5040
120	6	16	24	46	720	1920	2880	5520
Итого	37	59	59	155	2910	4950	5460	13320

 

2. Используя данные итоговой строки, вычисляем средние по группам:

по первой группе 78,649 руб.,

 по второй группе         83,898 руб.,

по третьей группе          92,542 руб.;

по всем группам 85,935 руб.

3. Вычисляем среднюю заработную плату по предприятию в целом по формуле средних групповых:

85,935руб.

 

 

Задача 3.

Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных (табл. 5).

Таблица 5

	10	15	20	25	30	35	40	45
	4	6	8	5	8	9	10	12

Решение

1. Вычисления промежуточных величин, входящих в нормальные уравнения метода наименьших квадратов, производим в форме табл. 6:

na0 + a1Σxi = Σyi

a0Σxi + a1Σx2i = Σxiyi.

 

Таблица 6

№№
1	10	4	100	16	40
2	15	6	225	36	90
3	20	8	400	64	160
4	25	5	625	25	125
5	30	8	900	64	240
6	35	9	1225	81	315
7	40	10	1600	100	400
8	45	12	2025	144	540
Итого	220	62	7100	530	1910
Среднее	27,5	7,75	887,5	66,25	238,75

 

2. Подставляя итоговые числа в нормальные уравнения метода наименьших квадратов

 

8a0 + 220a1 = 62  (:8)

220a0 + 7100a1 = 1910 (:220)

Решаем эту систему методом Гаусса.

< >a0 + 27,5a1 = 7,75a0 + 32,27 = 8,68

-4,77а1 = - 0,93,

Откуда получаем:

 

a1 = -0,93/-4,77 = -0,195,

 

a0 =  = 2,3875

 

3. Записываем корреляционное уравнение

 

2,3875+ 0,195x

4. Проверяем достоверность вычисления параметров уравнения:

7,75 = 2,3875 + 0,195 · 27,5           7,75 = 7,75

5. Вычисляем линейный коэффициент корреляции уравнения:

r = 0,899

 

6. Определяем коэффициент детерминации

0,8992 = 0,808

Следовательно, разработанная модель объясняет 80,8% вариации результативного признака , и только 19,2% вариации определяется факторами, неучтенными в регрессионном уравнении.

7. Результаты вычислений графически показаны на рис.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

12                                                                       8

11

10                                                              7

9                                                      6

8                          3                 5

7

6                 2

5                                    4

4       1

3

2

1                                    х

 

0       10              20              30              40               50                        x

 

Рис.2. Корреляционная зависимость

 

 

 

Задача 4.

Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции для следующих условий (табл. 7)

Таблица 7

Энерговооруженность	Производительность
Высокая	Низкая
Высокая	250	50
Низкая	100	200

 

Решение

1. Дополняем исходную таблицу строкой и столбцом «Итого» (табл.8).

Таблица 8

Энерговооруженность	Производительность	Итого
Высокая	Низкая
Высокая	а = 250	в = 50	a + в = 300
Низкая	с = 100	d = 200	с + d = 300
	а + с = 350	в + d = 250	600

 

2.Вычисляем коэффициент ассоциации:

 

Kacc = .

3.Определяем коэффициент контингенции:

Kконт = 0,507.

 

Итак, между рассматриваемыми признаками имеется определенная, (какая именно) я зависимость, так как получены такие:  > 0,5 , а  < 0,3.

 

Задача 5.

Определить тесноту связи между приведенными показателями с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова (табл. 9).

Таблица 9

Занятия спортом	Успеваемость
Хорошая	Средняя	Слабая
Интенсивное	5	10	15
Среднее	10	20	30
Слабое	5	10	20

 

Решение

< >Вычисления вычисляем табличной форме (табл.10), Таблица 10

Занятия спортом	Успеваемость	Итого
Хорошая	Средняя	Слабая
Интенсивное	5	10	15	30
25	100	225	-	0,24
1,25	2,5	3,46	7,21
Среднее	10	20	30	60
100	400	300	-	0,481
5	10	13,85	28,85
слабое	5	10	20	35
25	100	400	-	0,283
1,25	2,5	6,15	9,9
Всего	20	40	65	125	1,004

 

2.Определяем коэффициент взаимной сопряженности

ΣZi – 1 = 1,004 – 1 = 0,004

< >Вычисляем коэффициент Пирсона: 

C =  = 0,062

 

4. Вычисляем коэффициент Чупрова

 

Кч =

 

Следовательно, между успеваемостью и занятиями спортом существует зависимость, но не очень сильная, так как и коэффициент Пирсона  > 0,1, так и коэффициент Чупрова < 0,1 практически равны минимальным предельным значениям.  

 

Задача 6.

Рассчитать цепные, базисные и средние абсолютные приросты, темп роста и темп прироста по данным табл. 11.

Таблица 11

Период	1	2	3	4	5	6	7
Объём	14,4	17,2	16,3	14,4	12,9	13,6	14,8

 

 

 

Решение

 

1. Производим вычисления в форме табл.12

Таблица 12

Период	1	2	3	4	5	6	7
Объем	14,4	17,2	16,3	14,4	12,9	13,6	14,8
Абс. прирост
- цепной	-	2,8	-0,9	-1,2	-1,5	0,7	1,2
- базисный	-	2,8	1,9	0,00	-1,5	-0,8	0,4
Темп роста
-цепной	-	119,44%	94,77%	88,34%	89,58%	105,43%	108,82%
-базисный	100%	119,44%	113,19%	100%	89,58%	94,44%	102,77%
Темп прироста
-цепной	-	19,4%	-5,23%	-11,66%	-10,42%	5,43%	8,82%
-базисный	-	19,4%	13,19%	0,0%	-10,42%	-5,56%	2,78%

 

2. Проверяем достоверность вычислений:

абсолютного прироста:   2,8 – 0,9 – 1,9 – 1,5 + 0,7 + 1,2 = 0,4.

темпов роста:    1,1944 · 0,9477 · 0,8834 · 0,8958 · 1,0543 · 1,0882 = 1,0277 = 102,77%.

3.Вычисляем средний абсолютный прирост:

 

 = 0,0667.

 

Задача 7.

Выровнять ряд динамики методом наименьших квадратов в форме уравнения прямой линии  по данным табл.13.

Таблица 13

Период	1	2	3	4	5	6	7
Объем	15,7	16,7	17,6	15,0	16,8	17,9	18,2

Решение

1. Коэффициенты уравнения регрессии находим из соотношений:

na0 = Σyi

a1Σt2i = Σtiyi

2. Решение выполняем в форме табл.14

Таблица 14

Год	Периоды старые,	Объем	Периоды новые,
1998	1	15,7	-3	9	-47,1
1999	2	16,7	-2	4	-33,1
2000	3	17,6	-1	1	-17,6
2001	4	15,0	0	0	0
2002	5	16,8	1	1	16,8
2003	6	17,9	2	4	35,8
2004	7	18,2	3	9	54,6
Итого	7	117,9	0	28	9,1

 

3. Используя значения строки «Итого», получаем:

а0 = ,                 

a1 =  = 0,325,

поэтому уравнение тренда имеет вид:

16,84 + 0,325 · tн.

4. Осуществляем переход к исходной старой системе координат

16,84 + 0,325tн = 16,84 + 0,325(tc – 6),

или окончательно:

14,89 + 0,325 tc.

Полученные два уравнения равноценны. Например, если   7, а 1, то:

14,89 + 0,325tc =14,89 + 0,325 · 7 = 17,165  объем;

16,84 + 0,325 tн = 16,84 + 0,325 · 1 = 17,165  объем.

6. Результаты вычислений графически показаны на рис.3.

 

 

 

 

 

 

у                                    у

                                     

                                               y=16,84+0,325  tн

19     y=61,01-9,14  

18                                  18                       

17                                  17               tс

16                                  16

15                                  15

         -3      -2      -1      0       1       2       3                                    tн

0       1       2       3       4       5       6       7                                    tc

 

	Рис.3. Тренд динамического ряда

 

 

 

 

 

Задача 8.

Определить сводный индекс товарооборота, индекс цен, индекс физического объема реализации и величину перерасхода покупателей от роста цен по данным табл. 15.

Таблица 15

Вид продукции	Базисный период	Текущий период
Цена за единицу,	Продано единиц,	Цена, за единицу	Продано единиц,
Автомобиль	10000	30	15000	40
Трамвай	80000	10	90000	5
Троллейбус	40000	40	60000	70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

< >Решение выполняем в форме табл. 16 

Таблица 16

Вид продукции	Период	Стоимость товаров
базисный	текущий	базисный	текущий
Цена за единицу, , у. е.	Кол-во,	Цена за единицу , у. е.	Кол-во,	периода в ценах
Базисный	Текущий,	Базисный,	Текущий,
Автомобиль	10000	30	15000	40	300000	450000	400000	600000
Трамвай	80000	10	90000	5	800000	900000	400000	450000
Троллейбус	40000	40	60000	70	1600000	2400000	2800000	4200000
Итого	-	-	-	-	2700000	3750000	3600000	5250000

 

2. Вычисляем агрегатные индексы:

< >общий индекс товарооборота         Ipq =  = 1,944, 

то есть объем товарооборота в фактических ценах возрос на     94,4%;

< >индекс цен   Ip =  = 1,458 

то есть товарооборот за счет повышения цен возрос на      45,8%;

< >индекс физического объема реализацииIq =  = 1,333Ip · Iq = 1,458 · 1,333 = 1,944.

5. Перерасхода покупателей за счет роста цен составил

Σp1q1 – Σp0q1 = 5250000 – 3600000 = 1650000 у. е.